PIRÂMIDE E CILINDRO

Pirâmide

      Dados um polígono convexo R, contido em um plano alfa, e um ponto V ( vértice) fora de alfa, chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos abaixo:

Elementos da pirâmide

 Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

 base: o polígono convexo R

• arestas da base: do polígono
• arestas laterais: segmentos

• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA

• altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

      Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

   Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

       

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide

  Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

   Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

    Assim, temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A
 Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

  O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

     Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

          Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

      Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

·         as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;

·         as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

·         Áreas

·               Temos as seguintes áreas:

·                  a) área lateral (A_L): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

·             b) área total (A_T): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A_b) e maior (A_B)

         

_Volume

·              O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

·           Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:
                                                             

CILINDRO

  O cilindro é um corpo redondo com duas bases opostas e paralelas. Podem ser classificados, de acordo com a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases, em: cilindro circular oblíquo (a geratriz é oblíqua às bases) e cilindro circular reto (a geratriz é perpendicular às bases).

                               

A primeira figura acima é um cilindro oblíquo, já a segunda é um cilindro reto.                                                   

Cálculo das áreas de um cilindro.

Num cilindro, temos as áreas das bases, a área lateral e a área total.

Vejamos como calcular cada uma delas.

A base do cilindro é um círculo de raio r. Dessa forma, a área da base é dada por:

S_b = πr²

Para melhor compreender o cálculo da área lateral ou da superfície lateral, vamos realizar a planificação do cilindro. Observe a figura:

Dessa forma, podemos verificar que a superfície lateral é um retângulo de base 2πr e altura h. Assim, a área da superfície lateral será dada por:

S_l = 2πrh

Onde,
h → é a altura do cilindro
r → é o raio da base
S_l → é a área lateral

A área total do cilindro é obtida somando a área das duas bases com a área lateral. 

Dessa forma, teremos:

S_t = S_l + 2S_b

Como
S_l = 2πrh
S_b = πr²

Segue que:
S_t = 2πrh + 2πr²

Ou
S_t = 2πr(h+r)

Cálculo do volume do cilindro.

O volume do cilindro, de acordo com o princípio de Cavalieri, é obtido da mesma forma que o volume de um prisma. Assim, podemos afirmar que o volume do cilindro é igual ao produto da área da base pela altura, ou:

                                V = S_b∙h = πr²h

FONTE: http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial23.php

FONTE: http://www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm